Filtres électroniques
Qu'est-ce qu'un filtre ?
Questions pour comprendre le rapport entre l'électronique et le lego ou Minecraft
- Qu'est-ce qu'un filtre ? Que contient-il, comment est-il représenté / modélisé : dipôle, quadripôle... ?
- Sur quoi un filtre agit-il ? A quoi sert-il ?
- Par quoi est-il caractérisé ?
- Donner un exemple de filtre réel, donner son schéma électrique et préciser sa fonction.
- Quels sont les diagrammes de Bode des filtres idéaux ?
- Quel est l'intérêt du diagramme de Bode ?
- Connaissant le signal d'entrée \( u_e(t)=U_{em}\cos(\omega t + \varphi_e) \) et la fonction de transfert \(\underline H (\omega)\), comment détermine-t-on le signal de sortie par le calcul ?
- Peut-on utiliser le diagramme de Bode ou la fonction de transfert pour un signal non sinusoïdal ?
- Qu'appelle-t-on pulsations/fréquences de coupure ? Qu'est-ce que la bande passante à 3dB ?
Un filtre est un circuit électronique modélisé par un quadripôle contenant des dipôles passifs linéaires R, L, C
(et éventuellement des éléments actifs linéaires tels des ALI, cf. TP sur l'ALI).
De nombreuses chaînes électroniques sont constituées ainsi de « blocs fonctionnels » les uns à la suite des autres
(par exemple : capteur → conditionneur → amplificateur → affichage). Chaque « bloc » a une fonction précise.
Un filtre linéaire appauvrit le spectre d'un signal, il sélectionne des bandes de fréquences, d'où son nom (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande ou réjecteur).
Au contraire, un circuit non linéaire enrichit le spectre d'un signal. C'est le cas lorsqu'un circuit contient une diode ou un multiplieur (cf. TP).
Rappel : Un signal périodique quelconque (de fréquence \(f_0\)) peut s'écrire comme une somme de signaux sinusoïdaux (cf. analyse de Fourier) de fréquences \(f_n\) multiples de \(f_0\).
Un filtre agit sur les composantes sinusoïdales du signal en modifiant leurs amplitudes et leurs phases (cf. applets plus loin).
Un filre est caractérisé par sa fonction de transfert en tension \( \underline{H} \) (il existe des fonctions de transfert en courant, en puissance) :
\( \underline{H}=\displaystyle\frac{\underline{u}_S}{\underline{u}_e} \).
\( \underline{H} \) est une fonction de la pulsation \(\omega\) (étude théorique) ou de la fréquence \(f\) (en TP).
Exemple de filtre linéaire passif - Filtre passe-bas du second ordre :
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Dans l'ordre, de gauche à droite : filtre passe-bas idéal, passe-haut idéal, passe-bande idéal et coupe-bande idéal (un filtre idéal ne modifie pas le signal pour les fréquences comprises dans la bande passante, en particulier il n'introduit pas de déphasage).
Un filtre soumis à une excitation sinusoïdale de la forme \( u_e(t)=U_{em}\cos(\omega t + \varphi_e) \) délivre une tension de sortie sinusoïdale de la forme \( u_S(t)=U_{Sm}(\omega)\cos(\omega t + \varphi_S(\omega)) \) où \(U_{Sm}(\omega)\) et \(\varphi_S(\omega)\) sont déterminés graphiquement.
\(U_{Sm}(x)=\left|\underline H (x)\right|U_{em}\) et \(\varphi_S(x)=\arg(\underline H (x))+\varphi_e\).
En vertu du théorème de Fourier, le diagramme de Bode permet de connaître pour chaque composante sinusoïdale du signal d'entrée
son amplitude \( U_{Sm}(\omega) \) et sa phase \( \varphi_S(\omega) \) en sortie du filtre (toutes deux dépendent de la pulsation / fréquence).
Le principe de superposition (valable pour un circuit linéaire) permet alors d'écrire que le signal de sortie est la somme des différentes
composantes obtenues en sortie.
La bande passante est l'intervalle de pulsations ou de fréquences pour lequel la puissance du signal de sortie est au moins égale à la
moitié de la puissance maximale : \(P_S(\omega) \geq (P_S)_{max}/2\) ou \(P_S(f) \geq (P_S)_{max}/2\).
En utilisant la pulsation/fréquence réduite \(x=\displaystyle\frac{\omega}{\omega_0}=\frac{f}{f_0}\),
ce critère se traduit en amplitude par \(U_{Sm}(x)=\displaystyle\frac{(U_{Sm})_{max}}{\sqrt 2}\) (utile pour un calcul théorique) ou encore
\(\left|\underline H(x)\right|=\displaystyle\frac{\left|\underline H\right|_{max}}{\sqrt 2}\) ou bien \( G_{dB}(x) \geq (G_{dB})_{max} -3\) (utile en TP).
Exemples - Détermination de la bande passante à 3 dB (GdB(x) ou G(x)) : cliquer sur les vignettes pour agrandir / cacher
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Comment étudie-t-on théoriquement un filtre ?
Questions de méthode !
- Qu'est-ce que l'analyse asymptotique du schéma d'un filtre ?
- Comment obtient-on la fonction de transfert d'un filtre ?
- Qu'est-ce que l'analyse asymptotique de la fonction de transfert d'un filtre ?
- Pour quelle raison étudie-t-on le filtre « en sortie ouverte » ?
L'analyse asymptotique d'un filtre à partir de son schéma consiste à :
- remplacer les dipôles L et C par leurs modèles limites en basse fréquence (BF) et en haute fréquences (HF) (interrupteurs ouverts ou fermés) ;
2 schémas sont nécessaires (1 en BF et 1 en HF) !
- déterminer rigoureusement la tension de sortie \( u_S(t) \) (qui est en général soit 0 soit \( u_e(t)) \)).
- conclure quant à la nature du filtre.
Cf. exercices dans cette page.
Modèles limites de C et L en fonction de la pulsation :
Les points d'interrogation ?? signifient que la tension n'est pas connue a priori, on doit la trouver en utilisant les lois de Kirchhoff (très rapide, cf. exercices).
Dans les cas les plus simples, la fonction de transfert d'un filtre s'obtient en utilisant un diviseur de tension.
Dans les autres cas, il est toujours possible de simplifier le circuit en modélisant le générateur par une souce idéale de Thévenin et en transformant le circuit peu à peu
en utilisant l'équivalence entre modèle de Thévenin et modèle de Norton.
L'analyse asymptotique de la fonction de transfert d'un filtre consiste à simplifier la fonction de transfert en basse fréquence et en haute fréquence
puis à conclure quant à la nature du filtre.
Cf. exercices dans cette page.
L'utilisation d'un diviseur de tension, par exemple, nécessite que le courant de sortie soit nul en rouge sur le schéma). La présence d'un dipôle en sortie du filtre modifie la fonction de transfert du filtre sauf si la condition (\(i=0\)) est respectée. C'est le cas si le dipôle connecté est un voltmètre, un oscilloscope ou une carte d'acquisition dont l'impédance d'entrée est usuellement très grande devant les impédances du filtre, s'il s'agit d'une entrée inverseuse ou non inverseuse d'un ALI ou encore d'une impédance très grande devant les impédances du filtre (plus précisément devant l'impédance de sortie du filtre).
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Comment étudie-t-on en pratique un filtre ?
Et en TP ?
- De quel matériel a-t-on besoin ?
- Quel est le schéma complet du circuit ?
- Comment place-t-on l'oscilloscope ou les entrées de la carte d'acquisition ?
- Comment doit-on choisir les composants (valeurs de R, L, C) pour un filtre de démonstration (sans contrainte imposée) ?
L'étude d'un filtre en TP nécessite un générateur basse fréquence (GBF), des dipôles linéaires, un oscilloscope ou/et une carte d'acquisition (CAN).
Le schéma complet du circuit comporte la modélisation du GBF (modèle de Thévenin en général) ainsi que les symboles des liaisons à l'oscilloscope ou au CAN
(flèches \(Y_1\) et \(Y_2\) et symbole masse sur le schéma).
Cependant, en général, le GBF n'est pas représenté mais il est essentiel de se rappeler que la tension \( u_e(t)) \) est imposée par le GBF : amplitude, fréquence,
décalage ou offset (tension continue) voire phase à l'origine.
Les schémas suivants sont fréquents dans les comptes rendus de travaux pratiques (un GBF est branché entre les bornes E et S) : quelles tensions (les nommer à l'aide des point E, A, S et M) l'oscilloscope mesure-t-il ? Quelles remarques peut-on formuler à propos de ces schémas ?
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Les oscilloscopes, les CAN et les GBF usuels possèdent une référence de potentiel appelée masse (symbole masse sur le schéma
correspondant à la borne noire du GBF ou de l'oscilloscope). L'oscilloscope mesure les tensions par rapport à cette masse : si la voie 1 est connectée au point A,
l'oscilloscope mesure \( u_1=u_{AM} = V_A - V_M \).
En pratique, ces masses sont souvent reliées à la prise de terre (borne saillante dans une prise de courant) : ce potentiel est alors commun au GBF et à l'appareil
de mesure (oscilloscope ou CAN).
Conséquence : les masses (bornes noires) de l'oscilloscope/CAN et du GBF doivent absolument être reliées entre elles et n'être reliées à aucun autre point
du circuit (sans que ce soit imposé par le schéma).
Sur les deux schémas ci-dessus, la masse du GBF n'est pas représentée (elle doit être commune avec celle de l'oscilloscope), ce qui est source d'erreur dans le schéma 2.
Schéma de gauche : l'oscilloscope mesure uAM en voie 1 et uSM en voie 2.
Schéma de droite : en réalité, la masse du GBF (non représentée) est reliée au point M donc les deux bornes du condensateur sont au même potentiel (nul) : il est court-circuité.
En voie 1, l'oscilloscope mesure uAS = uAM (tension aux bornes de la résistance).
En voie 2, l'oscilloscope mesure uMS = uMM = 0...
Il est important de savoir effectuer un choix raisonné des valeurs composants R, L, C :
- la valeur de L est en général fixée (bobine de transformateur ou bobine de laboratoire d'inductance de l'ordre de quelques dizaines de mH : L ≃ 10 à 100 mH) ;
- dans le cas d'un filtre de démonstration, la fréquence centrale \(f_0\) sera de l'ordre de 1 à 10 kHz (le comportement d'une bobine réelle s'éloigne de son modèle lorsque la
fréquence augmente), on dispose ainsi de quelques décades de part et d'autre de la fréquence centrale.
Ce choix impose la valeur de la capacité C car \(\omega_0 = 2 \pi f_0 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}} \) pour un circuit RLC.
- La valeur inférieure de R est imposée par le GBF (modèle de Thévenin avec une résistance normalisée \(r = 50\,\, \Omega \Rightarrow R \gg r\)) et la borne supérieure est fonction
du facteur de qualité Q souhaité (\( Q = \displaystyle\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \)).
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Exploitation du diagramme GdB(x)
Et en concours ?
- Comment déterminer la nature d'un filtre d'après son diagramme de Bode en amplitude ?
- Comment déterminer son ordre ?
- Comment estimer le facteur de qualité (pour les filtres d'ordre 2) ?
Un gain nul en dB (GdB(x) = 0) correspond à vSm(x) = vem(x) donc le signal est transmis.
GdB(x) → -∞ correspond à vSm(x) → 0 donc le signal est bloqué.
Un filtre réel s'approche plus ou moins du gabarit d'un filtre idéal (cf. ci-dessus).
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La différence (en valeur absolue) des pentes des asymptotes est de :
- 20 dB/décade pour un filtre du 1er ordre ;
- 40 dB/décade pour un filtre du 2nd ordre.
Rq : la valeur du gain en décibels à la fréquence de coupure est nécessairement GdB(x=1) = -3 dB pour un filtre du 1er ordre.
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Pour un filtre passe-bande
Le facteur de qualité Q est lié à la bande-passante par \(\Delta x = \displaystyle\frac{1}{Q}\) donc plus le facteur de qualité Q est élevé, plus la résonance est aigüe (bande passante Δx étroite).
La forme canonique d'un passe-bande d'ordre 2 est : \(\underline H = \displaystyle\frac{\underline H_0}{1 +j Q (x-1/x)}\).
La résonance est donc obtenue pour x = 1 et \(\left(G_{dB}\right)_{max} = 20\log(H_0)\) (\(\left(G_{dB}\right)_{max} = 0\) pour \(H_0 = 1\))
quelle que soit la valeur de Q.
Rq : les asymptotes coupent l'axe des abscisses en 1/Q et Q.
Conséquence (cf. courbes ci-dessous) : Q > 1, résonance aigüe et Q < 1, résonance floue.
Rappel : il n'existe pas de filtre passe-bande d'ordre 1.
Pour un filtre passe-bas ou passe-haut d'ordre 2 \(\underline H = \displaystyle\frac{H_0}{1 - x^2 + jx/Q}\) ou \(\displaystyle\frac{-H_0 x^2}{1 - x^2 + jx/Q}\)
Il existe une résonance seulement si \(Q \gt \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).
On montre que pour \(Q \gt \frac{\sqrt{2}}{2}\) :
- \(x_{res} = \sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}} \xrightarrow{Q \gg 1} 1\)
- \(\left(H\right)_{max} = \displaystyle\frac{Q}{\sqrt{1-1/(4Q^2)}} \xrightarrow{Q \gg 1} Q\)
Rq : l'existence d'une résonance pour un filtre passe-haut ou passe-bas n'est pas souhaitable (on ne souhaite pas privilégier certaines fréquences) et le choix de ces filtres
en tant que passe-bande serait un très mauvais choix (mauvaise atténuation soit en basse soit en haute fréquence selon le filtre), on essaie donc de choisir
les composants de façon à avoir \(Q \simeq \frac{\sqrt{2}}{2}\) pour lequel la courbe réelle est la plus proche de ses asymptotes.
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Filtre et schéma électrique - Exercice
L'étude asymptotique du schéma d'un filtre permet de déterminer sa nature (cf. Comment étudie-t-on théoriquement un filtre ? ci-dessus).
Déterminer la nature de quelques filtres au choix parmi les suivants.
Réponses
Choisir un filtre, chercher sa nature puis consulter la réponse.
Réponse filtre F1
Réponse filtre F2
Réponse filtre F3
Réponse filtre F4
Réponse filtre F5
Réponse filtre F6
Les flèches bleues numérotées correspondent aux différentes étapes du raisonnement.
En basse fréquence :
La tension de sortie est égale à la tension d'entrée \(u_S =u_e\), le signal est intégralement transmis en basse fréquence.
En haute fréquence :
Le condensateur est équivalent à un fil idéal donc la tension à ses bornes est nulle \(u_S = 0\). Pas de signal en sortie en haute fréquence.
Conclusion : filtre passe-bas
Les flèches bleues numérotées correspondent aux différentes étapes du raisonnement.
En basse fréquence :
La tension de sortie est nulle \(u_S = R \times 0 = 0\). Pas de signal en sortie en basse fréquence.
En haute fréquence :
Le condensateur est équivalent à un fil idéal donc la tension de sortie est égale à la tension d'entrée \(u_S =u_e\). Le signal est intégralement transmis en haute fréquence.
Conclusion : filtre passe-haut
Les flèches bleues numérotées correspondent aux différentes étapes du raisonnement.
En basse fréquence :
La tension de sortie est nulle (tension aux bornes d'un fil idéal) \(u_S = 0\). Pas de signal en sortie en basse fréquence.
En haute fréquence :
La tension de sortie est égale à la tension d'entrée \(u_S =u_e\), le signal est intégralement transmis en haute fréquence.
Conclusion : filtre passe-haut
Les flèches bleues numérotées correspondent aux différentes étapes du raisonnement.
En basse fréquence :
La tension de sortie est nulle \(u_S = R \times 0 = 0\). Pas de signal en sortie en basse fréquence.
En haute fréquence :
La tension de sortie est nulle \(u_S = R \times 0 = 0\). Pas de signal en sortie en haute fréquence.
Conclusion : filtre passe-bande
Les flèches bleues numérotées correspondent aux différentes étapes du raisonnement.
En basse fréquence :
La tension de sortie est égale à la tension d'entrée \(u_S = u_e\), le signal est intégralement transmis en basse fréquence.
En haute fréquence :
La tension de sortie est nulle (tension aux bornes d'un fil idéal) \(u_S = 0\). Pas de signal en sortie en haute fréquence.
Conclusion : filtre passe-bas
Les flèches bleues numérotées correspondent aux différentes étapes du raisonnement.
En basse fréquence :
La tension de sortie est égale à la tension d'entrée \(u_S = u_e\), le signal est intégralement transmis en basse fréquence.
En haute fréquence :
La tension de sortie est égale à la tension d'entrée \(u_S = u_e\), le signal est intégralement transmis en haute fréquence.
Conclusion : filtre coupe-bande
Les flèches bleues numérotées correspondent aux différentes étapes du raisonnement.
En basse fréquence :
La tension de sortie est nulle (tension aux bornes d'un fil idéal) \(u_S = 0\). Pas de signal en sortie en basse fréquence.
En haute fréquence :
La tension de sortie est nulle (tension aux bornes d'un fil idéal) \(u_S = 0\). Pas de signal en sortie en haute fréquence.
Conclusion : filtre passe-bande
Filtre et fonction de transfert - Exercice
L'étude asymptotique de la fonction de transfert d'un filtre permet de déterminer sa nature (cf. Comment étudie-t-on théoriquement un filtre ? ci-dessus).
Détermner la nature des filtres associés à quelques unes des fonctions de transfert ci-dessous.
Réponses
Choisir une fonction de transfert, chercher la nature du filtre associé puis consulter la réponse.
Réponse \(\underline H_1\)
En basse fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 - x^2 + jx/Q} \xrightarrow{x \to 0} \frac{1}{1}=1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to 0}(x) = \left| \underline H \right| = 1}&{G_{dB} = 0}\end{array}\)
En haute fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 - x^2 + jx/Q} \xrightarrow{x \to \infty} \frac{1}{-x^2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to \infty}(x) = \left| \underline H \right| = 0}&{G_{dB} = -\infty}\end{array}\)
Conclusion : filtre passe-bas (d'ordre 2).
Complément : construction du diagramme de Bode asymptotiqueRéponse \(\underline H_2\)
En basse fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q} \xrightarrow{x \to 0} \frac{0}{1}=0 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to 0}(x) = \left| \underline H \right| = 0}&{G_{dB} = -\infty}\end{array}\)
En haute fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q} \xrightarrow{x \to \infty} \frac{-x^2}{-x^2} = 1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to \infty}(x) = \left| \underline H \right| = 1}&{G_{dB} = 0}\end{array}\)
Conclusion : filtre passe-haut (d'ordre 2).
Complément : construction du diagramme de Bode asymptotiqueRéponse \(\underline H_3\)
En basse fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 + jx} \xrightarrow{x \to 0} \frac{1}{1}=1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to 0}(x) = \left| \underline H \right| = 1}&{G_{dB} = 0}\end{array}\)
En haute fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 + jx} \xrightarrow{x \to \infty} \frac{1}{jx} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to \infty}(x) = \left| \underline H \right| = 0}&{G_{dB} = -\infty}\end{array}\)
Conclusion : filtre passe-bas (d'ordre 1).
Complément : construction du diagramme de Bode asymptotiqueRéponse \(\underline H_4\)
En basse fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 + j Q (x-1/x)} \xrightarrow{x \to 0} \frac{1}{-jQ/x} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to 0}(x) = \left| \underline H \right| = 0}&{G_{dB} = -\infty}\end{array}\)
En haute fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 + j Q (x-1/x)} \xrightarrow{x \to \infty} \frac{1}{jQx} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to \infty}(x) = \left| \underline H \right| = 0}&{G_{dB} = -\infty}\end{array}\)
Conclusion : filtre passe-bande (d'ordre 2).
Complément : construction du diagramme de Bode asymptotiqueRéponse \(\underline H_5\)
En basse fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{jx}{1 + jx} \xrightarrow{x \to 0} \frac{0}{1}=0 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to 0}(x) = \left| \underline H \right| = 0}&{G_{dB} = -\infty}\end{array}\)
En haute fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{jx}{1 + jx} \xrightarrow{x \to \infty} \frac{jx}{jx} = 1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to \infty}(x) = \left| \underline H \right| = 1}&{G_{dB} = 0}\end{array}\)
Conclusion : filtre passe-haut (d'ordre 1).
Complément : construction du diagramme de Bode asymptotiqueRéponse \(\underline H_6\)
En basse fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{1-x^2}{1 - x^2 + jx/Q} \xrightarrow{x \to 0} \frac{1}{1}=1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to 0}(x) = \left| \underline H \right| = 1}&{G_{dB} = 0}\end{array}\)
En haute fréquence :
\( \underline H = \displaystyle\frac{1-x^2}{1 - x^2 + jx/Q} \xrightarrow{x \to \infty} \frac{-x^2}{-x^2} = 1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{G_{x \to \infty}(x) = \left| \underline H \right| = 1}&{G_{dB} = 0}\end{array}\)
Conclusion : filtre coupe-bande (d'ordre 2).
Complément : construction du diagramme de Bode asymptotique\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 - x^2 + jx/Q} \)
\( \underline H \xrightarrow{x \to 0} \displaystyle\frac{1}{1} = 1 \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 0 \\ \varphi = 0 \end{array} \right.\)
\( \underline H (1) = -j Q \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 20\log(Q) \\ \varphi = -\displaystyle\frac{\pi}{2} \end{array} \right.\)
\( \underline H \xrightarrow{x \to \infty} \displaystyle\frac{1}{-x^2} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 20\log(\frac{1}{x^2}) = -40\log(x) \\ \varphi = \pm \pi \xrightarrow{arg(\underline H (1))=-\pi/2} -\pi \end{array} \right.\)
\( G_{dB}(x) = -40\log(x) \) est une droite de pente -40 dB/décade passant par le point \( \left| \begin{array}{l}x = 1\\{G_{dB}} = 0\end{array} \right. \)
\( \underline H = \displaystyle\frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q} \)
\( \underline H \xrightarrow{x \to 0} \displaystyle\frac{-x^2}{1} = -x^2 \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 20\log(x^2) = 40\log(x) \\ \varphi = \pm \pi \xrightarrow{arg(\underline H (1))=\pi/2} \pi \end{array} \right.\)
\( G_{dB}(x) = 40\log(x) \) est une droite de pente +40 dB/décade passant par le point \( \left| \begin{array}{l}x = 1\\{G_{dB}} = 0\end{array} \right. \)
\( \underline H (1) = j Q \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 20\log(Q) \\ \varphi = \displaystyle\frac{\pi}{2} \end{array} \right.\)
\( \underline H \xrightarrow{x \to \infty} \displaystyle\frac{-x^2}{-x^2}=1 \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 0 \\ \varphi = 0 \end{array} \right.\)
\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 + jx} \)
\( \underline H \xrightarrow{x \to 0} \displaystyle\frac{1}{1} = 1 \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 0 \\ \varphi = 0 \end{array} \right.\)
\( \underline H (1) = \displaystyle\frac{1}{1 + j} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 20\log(\frac{1}{\sqrt{2}})=-3 \, dB \\ \varphi = -\displaystyle\frac{\pi}{4} \end{array} \right.\)
\( \underline H \xrightarrow{x \to \infty} \displaystyle\frac{1}{jx} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = -20\log(x) \\ \varphi = -\displaystyle\frac{\pi}{2} \end{array} \right.\)
\( G_{dB}(x) = -20\log(x) \) est une droite de pente -20 dB/décade passant par le point \( \left| \begin{array}{l}x = 1\\{G_{dB}} = 0\end{array} \right. \)
\( \underline H = \displaystyle\frac{1}{1 + j Q (x-1/x)} \)
\( \underline H \xrightarrow{x \to 0} \displaystyle\frac{1}{-jQ/x} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 20\log(\frac{x}{Q}) \\ \varphi = \displaystyle\frac{\pi}{2} \end{array} \right.\)
\( G_{dB}(x) = 20\log(x) \) est une droite de pente 20 dB/décade passant par le point \( \left| \begin{array}{l}x = 1\\{G_{dB}} = -20\log(Q)\end{array} \right.\) et par le point par le point \( \left| \begin{array}{l}x = Q\\{G_{dB}} = 0\end{array} \right. \)
\( \underline H (1) = \displaystyle\frac{1}{1} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 0 \\ \varphi = 0 \end{array} \right.\)
\( \underline H \xrightarrow{x \to \infty} \displaystyle\frac{1}{jQx} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = -20\log(Qx) \\ \varphi = -\displaystyle\frac{\pi}{2} \end{array} \right.\)
\( G_{dB}(x) = -20\log(x) \) est une droite de pente -20 dB/décade passant par le point \( \left| \begin{array}{l}x = 1\\{G_{dB}} = -20\log(Q)\end{array} \right. \) et par le point par le point \( \left| \begin{array}{l}x = \frac{1}{Q}\\{G_{dB}} = 0\end{array} \right. \)
\( \underline H = \displaystyle\frac{jx}{1 + jx} \)
\( \underline H \xrightarrow{x \to 0} \displaystyle\frac{jx}{1} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 0 \\ \varphi = \displaystyle\frac{\pi}{2} \end{array} \right.\)
\( G_{dB}(x) = 20\log(x) \) est une droite de pente 20 dB/décade passant par le point \( \left| \begin{array}{l}x = 1\\{G_{dB}} = 0\end{array} \right. \)
\( \underline H (1) = \displaystyle\frac{j}{1 + j} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 20\log(\frac{1}{\sqrt{2}})=-3 \, dB \\ \varphi = \displaystyle\frac{\pi}{4} \end{array} \right.\)
\( \underline H \xrightarrow{x \to \infty} \displaystyle\frac{jx}{jx} = 1\Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 0 \\ \varphi = O \end{array} \right.\)
\( \underline H = \displaystyle\frac{1-x^2}{1 - x^2 + jx/Q} \)
\( \underline H \xrightarrow{x \to 0} \displaystyle\frac{1}{1} = 1 \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 0 \\ \varphi = 0 \end{array} \right.\)
\( \underline H (1) = 0 \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = -\infty \\ \varphi(x\rightarrow 1^-) = 0-\frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \\ \varphi(x\rightarrow 1^+) = \pi-\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \end{array} \right.\)
\( \underline H \xrightarrow{x \to \infty} \displaystyle\frac{-x^2}{-x^2}=1 \Rightarrow \left| \begin{array}{l} G_{dB} = 0 \\ \varphi = 0 \end{array} \right.\)
