Filtres et signaux non sinusoïdaux
Applet - Temps vs fréquence
Il s'agit dans ce paragraphe de faire le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa représentation fréquentielle.
Ces notions sont essentielles en électronique, dans tous les phénomènes ondulatoires en général et en optique en particulier.
Notice de l'applet
L'applet de permet de construire un signal « complexe » \(s(t)\) à partir d'une somme signaux sinusoïdaux.
Exemple : \(s(t) = A_0 + A_1 \cos (2 \pi f_1 t + \varphi_1) + A_2 \cos (2 \pi f_2 t + \varphi_2) +... \)
Chaque signal sinusoïdal est de la forme \(A \cos (2 \pi f t + \varphi)\). Ce signal est entièrment défini par la donnée de la liste \([f, \, A, \, \varphi] \).
Pour définir le signal résultant, il suffit donc de saisir une liste de la forme : \([ \, [f_0, \, A_0, \, \varphi_0] ,\, [f_1, \, A_1, \, \varphi_1], ...]\)
Comprendre :
Le signal constant \(s_0(t) = A_0 \) peut être considéré comme un signal sinusoïdal de fréquence nulle (de phase à l'origine nulle) : \(s(t) = A_0 \cos (0) \) et
représente la valeur moyenne du signal (réglable sur un GBF via l'offset ou décalage).
Initialiser l'applet ci-dessous (attendre le message de confirmation). Ce code est utilisé pour les applets de cette page.
Exécuter l'applet ci-dessous (valider la liste pour lancer l'applet) et faire les exerices qui suivent.
Les exercices qui suivent utilisent l'applet précédente.
Exercice n°1 - Quelques signaux et leurs spectres
Exemples de signaux et de spectres :
- [[1, 1, 0],[1.1, 1, 0]] (superposition de fréquences voisines : battements) ;
- [[1, 1, 0],[10, 0.1, 0]] (superposition de signaux de fréquences et d'amplitudes différentes) ;
- [[1, 1, 0],[0, -2, 0]] (valeur moyenne non nulle).
Exercice n°2 - Temporel → fréquentiel
En première approche, il est préférable de traiter les questions dans l'ordre.
On s'intéresse ici seulement au spectre en amplitude (les informations sur les phases sont ignorées).
Le but de cet exercice est d'associer un spectre au signal \(s(t)\) proposé.
Réponses
Choisir un graphe s(t) représentant le signal en fonction du temps, tracer son spectre aussi précisément que possible puis consulter la réponse.
Réponse s1(t)
Fonction sinusoïdale de période T = 1 ms donc de fréquence f = 1 kHz et d'amplitude A = 2 (unités non précisées) : le spectre est constitué d'une unique raie d'amplitude 2 à la fréquence 1 kHz.
Réponse s2(t)
Fonction constante donc de fréquence nulle f = 0 kHz et d'amplitude A = 1 (unités non précisées) : le spectre est constitué d'une unique raie d'amplitude 1 à la fréquence 0 kHz.
Réponse s3(t)
Fonction sinusoïdale de période T = 1 ms donc de fréquence f = 1 kHz, d'amplitude A = 1 (unités non précisées) et de valeur moyenne A0 = 2
correspondant à une fréquence nulle (signal constant).
le spectre est constitué de deux raies :
- 1 raie à la fréquence 0 kHz d'amplitide d'amplitude 2 (valeur moyenne) ;
- 1 raie à la fréquence 1 kHz d'amplitude 1 (sinusoïde).
Réponse s4(t)
On observe la superposition de deux fonctions sinusoïdales de fréquences et d'amplitudes très différentes :
- l'une de période T = 1 ms donc de fréquence f = 1 kHz et d'amplitude moyenne A = 1 (unités non précisées) ;
- l'autre de période T = 0,1 ms donc de fréquence f = 10 kHz et d'amplitude moyenne A = 0,5.
Le spectre est constitué des deux raies correspondantes.
Réponse s5(t)
On observe des battements, il s'agit donc de la somme de deux sinusoïdes de fréquences très voisines.
L'amplitude minimum des battements est nulle donc les amplitudes des deux sinusoïdes sont égales.
L'amplitude maximum des battements est 2 (unités non précisées) donc les amplitudes des sinusoides sont A1 = A2 = 1.
La période des battements est Tbatt = 10 ms (fréquence 100 Hz) et la période moyenne est de l'ordre de Tmoy ≃ 1 ms (on mesure 11 périodes sur 10 ms)
donc les fréquences des deux sinusoïdes sont voisines de f ≃ 1 kHz et séparées de 100 Hz.
Le spectre est constitué des deux raies correspondantes.
Réponse s6(t)
On observe des battements, il s'agit donc de la somme de deux sinusoïdes de fréquences très voisines.
L'amplitude minimum des battements est non nulle donc les amplitudes des deux sinusoïdes sont différentes.
On lit A1 + A2 = 1,5 (amplitude maximum) et |A1 - A2| = 0,5 (amplitude minimum)
⇒ les amplitudes
des sinusoïdes sont 1 et 0,5.
La période des battements est Tbatt = 10 ms (fréquence 100 Hz) et la période moyenne est de l'ordre de Tmoy ≃ 1 ms (on mesure 11 périodes sur 10 ms)
donc les fréquences des deux sinusoïdes sont voisines de f ≃ 1 kHz et séparées de 100 Hz.
Le spectre est constitué des deux raies correspondantes.
Exercice n°3 - Fréquentiel → temporel
En première approche, il est préférable d'avoir terminé l'exercice précédent.
On supposera que les phases à l'origine des composantes sinusoïdales sont nulles.
Le but de cet exercice est de prévoir l'allure d'un signal \(s(t)\) connaissant son spectre.
Réponses
Choisir un spectre A(f) représentant l'amplitude du signal en fonction de la fréquence, en déduire l'allure du signal s(t) correspondant aussi précisément que possible puis consulter la réponse.
Réponse A1(f)
Le spectre est constitué d'une raie d'amplitude 1 (unités non précisées) à la fréquence nulle.
Il s'agit donc d'un signal constant s1(t) = 1.
Réponses A2(f)
Le spectre est constitué :
- d'une raie d'amplitude 1 à la fréquence nulle donc signal constant (valeur moyenne) ;
- d'une raie d'amplitude 2 à la fréquence f = 1 kHz (sinusoïde).
Le signal résultant est une sinusoïde centrée sur la valeur 1 qui oscillera entre -1 et 3.
Réponses A3(f)
Le spectre est constitué de fréquences voisines :
- d'une raie d'amplitude 1 à la fréquence f = 1 kHz ;
- d'une raie d'amplitude 1 à la fréquence f = 1,2 kHz.
On va donc observer des battements de fréquence 200 Hz donc de période Tbatt = 5 ms, d'amplitude maximum 2 et d'amplitude minimum nulle.
Réponses A4(f)
Le spectre est constitué de fréquences différentes :
- d'une raie d'amplitude 1 à la fréquence f = 1 kHz ;
- d'une raie d'amplitude 1 à la fréquence f = 5 kHz.
On va donc observer la superposition d'une sinusoïde « haute fréquence » sur une sinusoïde « basse fréquence ».
Applet - Synthèse de Fourier
Il s'agit ici d'observer comment la superposition de signaux aux caractéristiques précises (fréquences, amplitudes, phases) permet d'obtenir des signaux usuels.
Remarque
La définition mathématique de certains signaux (signal « créneau » par exemple) fait apparaître des discontinuités.
De tels signaux ne sont pas physiques (les pentes sont finies en réalité).
Par conséquent, la somme de Fourier déduite de la définition mathématique du signal ne reconstitue pas le signal physique : il apparaît des « effets de bords » - appelés phénomènes de Gibbs -
qui se traduisent par de petites oscillations au voisinage des discontinuités (qui ne disparaissent pas si on augmente l'ordre de la somme de Fourier).
Notice de l'applet
Choisir un signal (carré, triangulaire, rampe) à construire.
Cette applet permet de visualiser l'évolution de la somme de Fourier lorsqu'on augmente l'ordre (le nombre de termes) de la somme.
Quel que soit le signal \(s(t)\) (périodique de fréquence \(f\)) à construire, le premier terme non constant est le fondamental de fréquence \(f\)).
Observer l'influence des harmoniques (de fréquence, d'amplitude et de phase préalablement calculées).
Applet - Action d'un filtre sur le spectre d'un signal
APPLET n°1 - Initialiser l'applet ci-dessous (attendre le message de confirmation). Ce code est utilisé dans la suite.
APPLET n°2 - Initialiser l'applet ci-dessous (attendre le message de confirmation). Il est nécessaire d'avoir initialisé l'APPLET n°1.
Ce code est utilisé pour les applets de cet exercice.
Exercice - Action d'un filtre sur un signal
Cet exercice nécessite la maîtrise des concepts précédents.
Notice de l'applet
Choisir :
- un signal (ou le définir manuellement, cf. applet Fourier), choisir sa fréquence fondamentale f0 ;
- un filtre (type et paramètres H0 et Q si nécessaire), sa fréquence caractéristique est 1 kHz ;
L'applet affiche alors le signal d'entrée et son spectre ainsi que le diagramme choisi.
Essayer alors de prévoir le spectre et la forme du signal de sortie (cf. suggestions ci-dessous).
Vérifier le résultat en cochant les cases « Diagramme + signal » (le diagramme montre comment les fréquences du spectre d'entrée sont atténuées) et
« Signal sortie » (signal de sortie et son spectre).
Remarque : comme la fréquence nulle ne peut pas être représentée dans le diagramme de Bode (échelle log !), celle-ci est arbitrairement représentée par la valeur 10-6 kHz.
Après avoir effectué les différents réglages, cliquer sur « Update ».
On s'intéresse ici seulement au spectre en amplitude (les informations sur les phases sont ignorées).
Exécuter l'applet ci-dessous et faire les exerices qui suivent.
A l'aide de l'applet précédente, répondre aux questions suivantes.
- Signal sinusoïdal de fréquence f0 = 0.05 kHz avec filtre passe-haut du premier ordre
Observer les signaux d'entrée et de sortie (cocher également « Diagramme + signal «) : pour quelle(s) raison(s) peut-on dire que le filtre présente un caractère dérivateur ? Dans quel domaine de fréquence est-ce exact ?
Justifier à l'aide de la fonction de transfert complexe, simplifiée dans le domaine fréquentiel considéré. - Signal sinusoïdal de fréquence f0 = 20 kHz avec filtre passe-bas du premier ordre
Observer les signaux : quelle opération mathématique le filtre réalise-t-il ? Dans quel domaine de fréquence est-ce exact ?
Justifier à l'aide de la fonction de transfert complexe, simplifiée dans le domaine fréquentiel considéré. - Filtre passe-bas du premier ordre
- Sinusoïde (à valeur moyenne nulle) à 1 kHz (comparer amplitude d'entrée et amplitude de sortie) ; à cette fréquence particulière, quelle est la relation entre les amplitudes d'entrée et de sortie (sans calcul) ?
- Sinusoïde (à valeur moyenne non nulle) à 50 kHz ; commenter.
Quel pourrait être l'intérêt de ce montage ? Dans ce but, l'utilisation d'un filtre passe-bas du second ordre serait-elle un avantageuse ? Tester.
- Parasites (le réglage de f0 est sans effet) : observer le signal d'entrée et son spectre. Comment peut-on de débarasser des petites oscillations ?
Tester avec un filtre du second ordre.
- Signal carré de fréquence f0 = 0.5 kHz. Expliquer la forme du signal de sortie (comparer la période du signal d'entrée et la constante de temps du circuit).
- Signal carré de fréquence f0 = 10 kHz. Expliquer la forme du signal de sortie en exploitant le fonctionnement du filtre dans ce domaine de fréquences (cf. deux premières questions).
- Signal triangulaire de fréquence f0 = 10 kHz ; attention à l'interprétation !
- Filtre passe-haut du premier ordre :
- sinusoïde (à valeur moyenne non nulle) à 10 kHz ; commenter (intérêt du montage ?). Un oscilloscope en position AC introduit un tel filtre, pour quelle raison les enseignants demandent-ils dans la plupart des cas d'utiliser le couplage direct DC et non le couplage alternatif AC ?
- Signal triangulaire de fréquence f0 = 0.1 kHz. Expliquer la forme du signal de sortie en exploitant le fonctionnement du filtre dans ce domaine de fréquences.
- Signal carré de fréquence f0 = 0.1 kHz. Que s'attendait-on à observer ? A quoi les « pics » correspondent-ils ?
- Imaginer quelques expériences avec d'autres filtres en rapport avec des utilisations concrètes (musique, traitement du signal...).