Introduction
Les notions macroscopiques de flux et de circulation sont liées aux propriétés mésoscopiques appelées divergence et rotationnel.
Ces relations sont visibles dans les définitions intrinsèques des opérateurs (relations locales) et dans les théorèmes de Stokes-Ampère et de Green-Ostrogradski (relations intégrales).
Ces opérateurs, ainsi que d'autres, transforment des champs (scalaires ou vectoriels) en d'autres champs (scalaires ou vectoriels).
Les équations fondamentales de la mécanique des fluides (Navier-Stokes, Euler) et de l'électromagnétisme (Maxwell) reposent sur de tels opérateurs.
Circulation
La circulation C d’un champ de vecteurs \( \vec G (M) \) le long d’une courbe Γ est :
$$ C = \displaystyle\int\limits_{M \in \,\Gamma } {\vec G_{(M)} \cdot \textrm{d} \vec \ell _{(M)}} $$
\( \rm d\vec \ell\) est le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe Γ
La circulation de \( \vec G (M) \) le long d’une courbe Γ fermée est notée :
$$ C = \displaystyle\oint\limits_{M \in \,\Gamma } {\vec G_{(M)} \cdot \textrm{d} \vec \ell _{(M)}} $$
Exemple :
Le travail \( W_{A \to B}(\vec F) = \displaystyle\int\limits_A^B {\vec F \cdot \textrm{d} \vec \ell } \) est la circulation de la force \( \vec F \) le long du chemin suivi pour aller de A à B.
Flux
Le flux C d’un champ de vecteurs \( \vec G (M) \) à travers une surface S est :
$$ \phi = \displaystyle\iint\limits_{M\, \in \,S} {\vec G_{(M)}. \textrm{d} \vec S_{(M)}} $$
\( \textrm{d}\vec S\) est le vecteur surface élémentaire (vecteur de norme dS orthogonal à la surface au point M considéré)
Le flux de \( \vec G (M) \) à travers une surface S fermée est noté :
$$ \phi = {\large\bigcirc}\kern-2.1em\iint \limits_{M\, \in \,S} {\vec G(M). \textrm{d} \vec S(M)} $$
Exemples :
D'une façon générale, un débit peut s'exprimer comme le flux d'une grandeur.
Le débit massique \( D_m = \displaystyle\frac{\delta m}{\textrm{d} t} \) est également le flux \( D_m = \displaystyle\iint\limits_{S} {\vec j \cdot \textrm{d} \vec S} \) où \( \vec j = \mu \vec v \).
L'intensité électrique \( I = \displaystyle\frac{\delta q}{\textrm{d} t} \) est également le flux \( I = \displaystyle\iint\limits_{S} {\vec j \cdot \textrm{d} \vec S} \) où \( \vec j = \rho \vec v \).
Gradient
Définition intrinsèque du gradient
$$ \textrm{d} f = \overrightarrow{\textrm{grad}} f \cdot \textrm{d} \overrightarrow {OM} $$Coordonnées cartésiennes \( f(x,y,z) \) : $$ \overrightarrow {\textrm{grad}} f \left| \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \\ \end{align*} \right. $$
Coordonnées cylindriques \( f(r,\theta,z) \) : $$ \overrightarrow {\textrm{grad}} f \left| \begin{align*} &\frac{\partial f}{\partial r} \\ &\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \\ &\frac{\partial f}{\partial z} \\ \end{align*} \right. $$
Coordonnées sphériques \( f(r,\theta,\varphi) \) : $$ \overrightarrow {\textrm{grad}} f \left| \begin{align*} &\frac{\partial f}{\partial r} \\ &\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \\ &\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi} \\ \end{align*} \right. $$
Divergence
Définition intrinsèque de la divergence
Intuitivement, lorsqu'un flux \(\textrm{d} \phi\) sort (ou entre) à travers une surface fermée \(\textrm{d} S\) délimitant
un volume élémentaire \(\textrm{d} \tau\), on conçoit que le champ « diverge » depuis ce volume (ou
« converge » vers ce volume).
On définit mathématiquement la divergence comme étant le flux volumique
\( \textrm{div} \vec G = \frac{\textrm{d} \phi}{\textrm{d} \tau} \).
Théorème de Green-Ostrogradski
$$ {\large\bigcirc}\kern-2.0em\iint \limits_{P\, \in \,S} {\vec G(P). \textrm{d} \vec S_{ext}(P)} = \displaystyle\iiint \limits_{M\, \in \, V} \textrm{div} \vec G(M) \textrm{d}\tau (M) $$\( \textrm{d} \vec S_{ext} \) orientée vers l'extérieur de la surface fermée S délimitant le volume V
Coordonnées cartésiennes \( \vec G(x,y,z) \left| \begin{align*} &G_x(x,y,z) \\ &G_y(x,y,z) \\ &G_z(x,y,z) \\ \end{align*} \right.\) : $$ \textrm{div} \vec G = \displaystyle\frac{\partial G_\color{red}x(x,y,z)}{\partial \color{red}x} + \frac{\partial G_\color{blue}y(x,y,z)}{\partial \color{blue}y} + \frac{\partial G_\color{green}z(x,y,z)}{\partial \color{green}z} $$
Coordonnées cylindriques \( \vec G(r,\theta,z) \left| \begin{align*} &G_r(r,\theta,z) \\ &G_{\theta}(r,\theta,z) \\ &G_z(r,\theta,z) \\ \end{align*} \right.\) : $$ \textrm{div} \vec G = \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial \left( r G_r \right)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial G_\theta }{\partial \theta } + \frac{\partial G_z}{\partial z} $$
Coordonnées sphériques \( \vec G(r,\theta,\varphi) \left| \begin{align*} &G_r(r,\theta,\varphi) \\ &G_{\theta}(r,\theta,\varphi) \\ &G_{\varphi}(r,\theta,\varphi) \\ \end{align*} \right.\) : $$ \textrm{div} \vec G = \displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left( r^2 G_r \right)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial \left( \sin \theta G_\theta \right) }{\partial \theta } + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial G_\varphi}{\partial \varphi} $$
Rotationnel
Définition intrinsèque du rotationnel
Notion de rotationnel 1/2 (mathinsight)
Notion de rotationnel 2/2 (mathinsight)
Dans un champ de vitesses non uniforme (flèches bleues), les particules fluides (sphères) peuvent tourner sur elles-mêmes. Le rotationnel est le vecteur associé à la rotation
des particules fluides sur elles-mêmes (vecteurs verts) et non à une rotation macroscopique éventuelle du fluide.
La ciculation d'un tel champ de vitesses le long d'une courbe fermée (en rouge) est alors non nul. Le flux des vecteurs rotation à travers la surface (en violet) posée sur le contour fermé est non nul et
on définit le rotationnel via ce flux et cette circulation par :
$$ \textrm{d}C = \vec G \cdot \textrm{d} \vec{\ell} = \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec G \cdot \textrm{d}\vec S $$
Théorème de Stokes-Ampère
$$ \oint \limits_{M \in C} \vec G (M) \cdot \textrm{d} \vec{\ell} = \iint \limits_{P \in \Sigma} \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec G (P) \cdot \textrm{d} \vec S (P)$$Coordonnées cartésiennes \( \vec G(x,y,z) \left| \begin{align*} &G_x(x,y,z) \\ &G_y(x,y,z) \\ &G_z(x,y,z) \\ \end{align*} \right.\) : $$ \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec G \left| \begin{array}{l} \displaystyle\frac{\partial G_z}{\partial y} - \frac{\partial G_y}{\partial z}\\ \displaystyle\frac{\partial G_x}{\partial z} - \frac{\partial G_z}{\partial x}\\ \displaystyle\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y} \end{array} \right. $$
Coordonnées cylindriques \( \vec G(r,\theta,z) \left| \begin{align*} &G_r(r,\theta,z) \\ &G_{\theta}(r,\theta,z) \\ &G_z(r,\theta,z) \\ \end{align*} \right.\) : $$ \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec G \left| \begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial G_z}{\partial \theta } - \frac{\partial G_\theta }{\partial z}\\ \displaystyle\frac{\partial G_r}{\partial z} - \frac{\partial G_z}{\partial r}\\ \displaystyle\frac{1}{r}\left( {\frac{\partial \left( {r{G_\theta }} \right)}{\partial r} - \frac{\partial G_r}{\partial \theta }} \right)\end{array} \right.$$
Coordonnées sphériques \( \vec G(r,\theta,\varphi) \left| \begin{align*} &G_r(r,\theta,\varphi) \\ &G_{\theta}(r,\theta,\varphi) \\ &G_{\varphi}(r,\theta,\varphi) \\ \end{align*} \right.\) : $$ \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec G\left| \begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{r\sin \theta }\left( {\frac{\partial \left( \sin \theta \,G_\varphi \right)}{\partial \theta } - \frac{\partial G_\theta }{\partial \varphi }} \right)\\ \displaystyle\frac{1}{r}\left( {\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial G_r}{\partial \varphi } - \frac{\partial \left( r G_\varphi \right)}{\partial r}} \right)\\ \displaystyle\frac{1}{r}\left( {\frac{\partial \left( r G_\theta \right)}{\partial r} - \frac{\partial G_r}{\partial \theta }} \right)\end{array} \right. $$
Laplacien scalaire
Définition intrinsèque du laplacien
$$ \Delta f = \textrm{div} \left( \overrightarrow{\textrm{grad}} f \right) $$Coordonnées cartésiennes \( f(x,y,z) \) : $$ \Delta f = \displaystyle\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial z^2} $$
Coordonnées cylindriques \( f(r,\theta,z) \) : $$ \Delta f = \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} $$
Coordonnées sphériques \( f(r,\theta,\varphi) \) : $$ \Delta f = \displaystyle\frac{1}{r}\left( \frac{\partial^2 (r f)}{\partial r^2} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial^2 f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi^2} $$ Ou encore : $$ \Delta f = \displaystyle\frac{1}{r^2}\left( \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial^2 f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi^2} $$
Laplacien vectoriel
Définition intrinsèque du laplacien vectoriel
$$ \Delta \vec G = \overrightarrow{\textrm{grad}} \left( \textrm{div} \vec G \right) - \overrightarrow{\textrm{rot}} \left( \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec G \right) $$Coordonnées cartésiennes \( \vec G(x,y,z) \left| \begin{align*} &G_x(x,y,z) \\ &G_y(x,y,z) \\ &G_z(x,y,z) \\ \end{align*} \right.\) : $$ \Delta \vec G \left| \begin{array}{l} \Delta G_x\\ \Delta G_y\\ \Delta G_z \end{array} \right. $$
Opérateur \( \vec u \cdot \overrightarrow{\textrm{grad}} \)
Appliqué à une fonction scalaire f : \( \left( \vec u \cdot \overrightarrow{\textrm{grad}} \right) f = \vec u \cdot \left(\overrightarrow{\textrm{grad}} f \right) \)
Exemple en coordonnées cylindriques :
\( \left( \vec u \cdot \overrightarrow{\textrm{grad}} \right) f =
\left( \vec{e}_r \displaystyle\frac{\partial}{\partial r} +
\vec{e}_{\theta} \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} +
\vec{e}_z \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right) f(r,\theta,z) \)
Appliqué à un champ vectoriel \( \vec G \) :
Exemple en coordonnées cylindriques :
\( \left( \vec u \cdot \overrightarrow{\textrm{grad}} \right) \vec G =
\left( \vec{e}_r \displaystyle\frac{\partial}{\partial r} +
\vec{e}_{\theta} \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} +
\vec{e}_z \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)
\left( G_r \vec{e}_r + G_{\theta} \vec{e}_{\theta} + G_z \vec{e}_z \right) \)
en n'oubliant pas de dériver les vecteurs \(\vec{e}_r\) et \(\vec{e}_{\theta}\) par rapport à \(\theta\).
Formule utile : \( \left( \vec u \cdot \overrightarrow{\textrm{grad}} \right) \vec u = \overrightarrow{\textrm{grad}} \displaystyle\frac{u^2}{2} + \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec u \wedge \vec u \)
Propriétés
La divergence d'un rotationnel est nulle : \( \textrm{div}\left( \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec G \right) = 0 \)
Le rotationnel d'un gradient est nul : \( \overrightarrow{\textrm{rot}} \left( \overrightarrow{\textrm{grad}} f \right) = \vec 0 \)
Opérateur nabla
Coordonnées cartésiennes uniquement $$ \overrightarrow \nabla \left| \begin{align*} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial z} \\ \end{align*} \right. $$
$$ \begin{align*} \overrightarrow{\textrm{grad}} f &= \overrightarrow \nabla f \\ \textrm{div} \vec G &= \overrightarrow \nabla \cdot \vec G \\ \overrightarrow{\textrm{rot}} \vec G &= \overrightarrow \nabla \wedge \vec G \\ \Delta f &= \nabla^2 f \end{align*} $$