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Formules d'Euler

$\cos(x)= \displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin(x)= \displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

Forme algébrique - Forme exponentielle

Forme algébrique	$\underline z = a + jb$
Forme exponentielle	$\underline z = \rho e^{j \varphi}$

Partie réelle	$\Re(\underline z) = a = \rho \cos \varphi$
Partie imaginaire	$\Im(\underline z) = b = \rho \sin \varphi$

Module	$\left\| \underline z \right\| = \rho = \sqrt{a^2+b^2}$
Argument	$arg(\underline z) = \varphi = \arctan \displaystyle\frac{b}{a}$

Interprétation géométrique

Positions remarquables dans le plan complexe :

Réel positif $\underline z_1 = a_1$ :	$\varphi_1 = 0$
Réel négatif $\underline z_2 = a_2$ :	$\varphi_2 = \pm \pi\$
Imaginaire pur $j = e^{j \frac{\pi}{2}}$ :	$\varphi = \frac{\pi}{2}$

Grandeurs complexes en physique

Les complexes sont utilisés pour traduire la notion de déphasage

A la grandeur réelle $u (t) = u_{m} \cos(\omega t + \varphi)$ , on associe la grandeur complexe instantanée $\underline u (t) = u_{m} e^{j(\omega t + \varphi)}$ .
On peut encore écrire $\underline u (t) = \underline u _{m} e^{j \omega t}$ où $\underline u _{m} = u _{m} e^{j\varphi}$ est l'amplitude complexe.

On représente l'amplitude complexe dans le plan complexe à l'aide d'un vecteur appelé vecteur de Fresnel :

La phase à l'origine φ représente le déphasage de $u (t)$ par rapport à la tension de référence $\cos(\omega t)$ .

Exemple : on considère un filtre électronique de fonction de transfert $\underline H = \displaystyle\frac{\underline u_s}{\underline u_e}$ avec $\underline H = H e^{j \varphi}$ .

Les tensions d'entrée et de sortie sont de la forme : $u_e (t) = u_{em} \cos(\omega t + \varphi_e)$ et $u_s (t) = u_{sm} \cos(\omega t + \varphi_s)$

Les amplitudes complexes s'écrivent : $\underline u_s = u_{sm} e^{j \varphi _s}$ et $\underline u_e = u_{em} e^{j \varphi _e}$ .

En écrivant l'égalité des modules et des arguments des deux membres, on a : $H = \displaystyle\frac{u_{sm}}{u_{em}}$ et $\varphi = \varphi _s - \varphi _e$
$\varphi$ est donc le déphasage de $u_s$ par rapport à $u_e$ .