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Comprendre - Mécanique = 3 dimensions[L], [M], [T] (3 unités m, kg, s)

La mécanique est entièrement construite à l'aide de trois unités seulement (m, kg, s) (en bleu sur le schéma) dont les dimensions sont notées [L], [M] et [T].

Conséquence

Savoir - Théorème fondamental de l'analyse dimensionnelle (théorème de Vaschy-Buckingham)

Puisqu'il n'y a que 3 grandeurs de base pour construire la mécanique, si il existe une relation entre 4 grandeurs A, B, C et D (où A, B et C sont dim-indépendantes*) alors D s'exprime nécessairement sous la forme $D = k\, A^\alpha B^\beta C^\gamma$ où k est un nombre sans dimension (en effet, les seules opérations autorisées entre ces grandeurs sont multiplication/puissance car il est impossible d'additionner des grandeurs n'ayant pas même dimension).

(*) A, B et C sont dim-indépendantes si il est impossible d'exprimer les dimensions de l'une de ces grandeurs en fonction des deux autres.

Savoir-faire - Etablir une relation par analyse dimensionnelle

Pour déterminer la relation entre D et A, B, C, on écrit : $[D] = [A]^\alpha [B]^\beta [C]^\gamma$ en exprimant les dimensions de A, B, C et D en fonction de [L], [M] et [T].
On cherche ensuite les valeurs de α, β, γ en identifiant les puissances de [L], [M] et [T] dans les deux membres de l'équation.
La relation cherchée est alors de la forme $D = k \,A^\alpha B^\beta C^\gamma$ où k est un nombre sans dimension qui doit être déterminé expérimentalement ou à l'aide d'un modèle.

Application - Exemple

Objectif : déterminer la forme de la relation entre la période T des petites oscillations d'un pendule simple et les grandeurs physiques impliquées (a priori) que sont la masse m, la longueur du fil $\ell$ et le champ de pesanteur $g$ .

Vérification des hypothèses du théorème : m, $\ell$ et $g$ sont dim-indépendantes car [m] = [M], [ $\ell$ ] = [L] et [g] = [L][T]^-2, il est donc impossible de construire les dimensions de g à partir de celles de m et $\ell$ .
Le théorème fondamental permet alors d'écrire que $T = k\, m^\alpha \ell^\beta g^\gamma$ où k est sans dimension.
On en déduit la relation entre les dimensions des deux membres de cette équation :
$[L]^0 [M]^0 [T]^1 = [L]^{\beta+\gamma} [M]^\alpha [T]^{-2\gamma}$
Par identification :
$\left| \begin{array}{l} \alpha = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \\ \gamma = -\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$
On en déduit les trois coefficients $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ puis la forme de la relation cherchée : $T = k \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ . Il reste à déterminer le coefficient k grâce à un modèle théorique ou par des mesures (en l'occurrence la relation est $T = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ ).