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Comprendre - Mécanique = 3 dimensions[L], [M], [T] (3 unités m, kg, s)

La mécanique est entièrement construite à l'aide de trois unités seulement (m, kg, s) (en bleu sur le schéma) dont les dimensions sont notées [L], [M] et [T].

Conséquence

Savoir - Théorème fondamental de l'analyse dimensionnelle (théorème de Vaschy-Buckingham)

Puisqu'il n'y a que 3 grandeurs de base pour construire la mécanique, si il existe une relation entre 4 grandeurs A, B, C et D (où A, B et C sont dim-indépendantes*) alors D s'exprime nécessairement sous la forme \( D = k\, A^\alpha B^\beta C^\gamma \) où k est un nombre sans dimension (en effet, les seules opérations autorisées entre ces grandeurs sont multiplication/puissance car il est impossible d'additionner des grandeurs n'ayant pas même dimension).

(*) A, B et C sont dim-indépendantes si il est impossible d'exprimer les dimensions de l'une de ces grandeurs en fonction des deux autres.

Savoir-faire - Etablir une relation par analyse dimensionnelle

Pour déterminer la relation entre D et A, B, C, on écrit : \( [D] = [A]^\alpha [B]^\beta [C]^\gamma \) en exprimant les dimensions de A, B, C et D en fonction de [L], [M] et [T].
On cherche ensuite les valeurs de α, β, γ en identifiant les puissances de [L], [M] et [T] dans les deux membres de l'équation.
La relation cherchée est alors de la forme \( D = k \,A^\alpha B^\beta C^\gamma \) où k est un nombre sans dimension qui doit être déterminé expérimentalement ou à l'aide d'un modèle.

Application - Exemple

Objectif : déterminer la forme de la relation entre la période T des petites oscillations d'un pendule simple et les grandeurs physiques impliquées (a priori) que sont la masse m, la longueur du fil \(\ell\) et le champ de pesanteur \(g\).

Vérification des hypothèses du théorème : m, \(\ell\) et \(g\) sont dim-indépendantes car [m] = [M], [\(\ell\)] = [L] et [g] = [L][T]^-2, il est donc impossible de construire les dimensions de g à partir de celles de m et \(\ell\).
Le théorème fondamental permet alors d'écrire que \(T = k\, m^\alpha \ell^\beta g^\gamma\) où k est sans dimension.
On en déduit la relation entre les dimensions des deux membres de cette équation :
\( [L]^0 [M]^0 [T]^1 = [L]^{\beta+\gamma} [M]^\alpha [T]^{-2\gamma} \)
Par identification :
\(\left| \begin{array}{l} \alpha = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \\ \gamma = -\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\)
On en déduit les trois coefficients \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) puis la forme de la relation cherchée : \(T = k \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\). Il reste à déterminer le coefficient k grâce à un modèle théorique ou par des mesures (en l'occurrence la relation est \(T = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\)).