Paquet d'ondes

I/ Propagation avec dispersion faible

k₀

σ_k

v_φ/v_g

\(k_0 = \displaystyle\frac{2 \pi}{\lambda_0}\) où λ₀ est la longueur d'onde moyenne du paquet.

σ_k = largeur du spectre. La largeur spatiale σ_x est telle que \(\sigma_k \times \sigma_x \sim 1 \)

v_φ = vitesse de phase moyenne et v_g = vitesse de groupe du paquet.

✋Manipuler.

Modifier les caractéristiques spectrales du paquet d'onde (valeur centrale k_o et largeur σ_k du spectre du paquet) et observer la représentation spatiale du paquet s(x,t).
Lancer l'animation pour plusieurs valeurs du rapport vitesse de phase / vitesse de groupe et observer.
Le bouton d'enregistrement permet de prendre des clichés au cours de la propagation.

II/ Propagation avec dispersion forte

✋Manipuler.

Les relations de dispersion pour les phénomènes de dispersion ci-dessous sont de la forme ω ∝ k² et ω ∝ k^½ : associer à chaque vidéo la relation qui convient (observer les longueurs d'ondes se propageant le plus rapidement et conclure).

Ondes à la surface de l'eau en eau profonde :

Paquet d'onde associé à un électron libre :

✎ Paquet d'ondes

Rapppels sur le paquet d'onde (du discontinu au continu, relation spectre/signal) : Applet Fourier (PhET, University of Colorado).

Définitions :
- Vitesse de phase pour une OPPH de pulsation ω et de vecteur d'onde k : \(v_\varphi = \displaystyle\frac{\omega}{k} \) ;
- Vitesse de phase moyenne pour un paquet d'onde de pulsation ω et de vecteur d'onde moyen k₀ : \( \langle v_\varphi \rangle = \displaystyle\frac{\omega}{k_0} \) ;
- Vitesse de groupe (vitesse de l'enveloppe du paquet d'ondes) : \(v_g = {\left(\displaystyle\frac{d \omega}{dk}\right)}_{k_0} \).
L'analyse de Fourier permet d'établir la relation entre largeur spectrale et largeur du signal :
- dans le domaine spatial : \(\sigma_k \times \sigma_x \sim 1 \)
- dans le domaine temporel : \(\sigma_\omega \times \sigma_t \sim 1 \)

Interprétations qualitatives de ces relations :
- plus le spectre est étroit plus le signal est étendu : un spectre constitué d'un unique pic correspond à une sinusoïde s'étendant à l'infini.
- à l'inverse, un signal limité dans le temps et dans l'espace possède un spectre très étendu : il faut un très grand nombre de sinusoïdes pour annuler la somme presque partout sauf sur un domaine.