Sensation de chaud et de froid - Effusivité thermique

Loi de Fourier → λ en \( \textrm{W} \, \textrm{m}^{-1} \, \textrm{K}^{-1} \).
Equation pilote de la diffusion thermique → D en \( \textrm{m}^2 \, \textrm{s}^{-1} \).

La résolution l'équation de diffusion en régime stationnaire dans chacun des deux milieux donne \(T_1(x) = a_1 x + b_1\) et \(T_2(x) = a_2 x + b_2\).
Conditions aux limites (cf. schéma) en régime stationnaire :

• en x = 0 : \(T_1 (0) = T_2 (0) = T_i\)
• en x = e : \(T_2 (e) = T_{02}\)
• en x = -e : \(T_1 (-e) = T_{01}\)

La continuité de la densité de flux thermique \(j_Q(x, t)\) en x = 0 résulte du 1^er principe appliqué à un élément de surface dS (d’épaisseur nulle) de l’interface : \( \textrm{d}U = C\textrm{d}T = 0 \) car système de masse nulle (sans épaisseur) donc de capacité thermique nulle.
D'après le 1^er principe \( \textrm{d}U=\delta W + \delta Q_x + \delta Q_{x+\textrm{d}x} \) et \( \delta W = 0 \) (volume du système nul).
D'où \( \delta Q = 0 \) avec \( \delta Q = \left( j_Q(0^-) - j_Q(0^+)\right) \textrm{d}S \textrm{d}t \).
On obtient donc bien la continuité de \(j_Q(x, t)\) en x = 0 car \( j_Q(0^-) = j_Q(0^+) \).

On calcule les densités de flux à l’aide de la loi de Fourier et des expressions des températures trouvées en 2.a.
L’égalité des densités de flux (indépendantes de x) conduit à : \( T_i = \displaystyle\frac{\lambda_\textrm{main}T_{01} + \lambda_\textrm{table}T_{02}} {\lambda _\textrm{main} + \lambda _\textrm{table}} \).

Avec le bois : \(T_i\) = 35,2 °C ≈ \(T_\textrm{main}\) . Avec le métal : \(T_i\) = 18,8 °C < \(T_\textrm{main}\) ce qui explique la sensation de fraîcheur.

e. En régime stationnaire la notion de résistance thermique est licite. Les deux résistances thermiques sont en série (elles sont traversées par le même flux), la situation est donc analogue à un diviseur de tension : en électricité, on chercherait le potentiel intermédiaire connaissant les potentiels aux extrémités.
On a donc \(T_i - T_{01} = \displaystyle\frac{R_{Th1}}{R_{Th1} + R_{Th2}}\left( T_{02} - T_{01} \right)\).
On en déduit : \( T_i = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{T_{01}}{R_{Th1}} + \displaystyle\frac{T_{02}}{R_{Th2}}} {\displaystyle\frac{1}{R_{Th1}} + \displaystyle\frac{1}{R_{Th2}}} \) où \( R_{Th} = \displaystyle\frac{e}{\lambda S} \)
Rq : si on sait l'utiliser, le théorème de Millman est encore plus rapide.

Conditions aux limites en x = 0 à tout instant :
- la continuité de la température s'écrit   \(T_1(0,t) = T_2(0,t) = T_i\)   or en x = 0   \(u_1(0,t) = u_2(0,t) = 0\)   d'où   \( \alpha_1 = \alpha_2 = T_i \).
- la continuité de \(j_Q\) s'écrit   \(j_{Q_1}(0,t) = j_{Q_2}(0,t)\)   et   \( j_Q = - \lambda \displaystyle\frac{\partial T}{\partial x} = - \lambda \frac{\beta}{2\sqrt{Dt}}{e^{-\frac{x^2}{2Dt}}} \)   d'où   \( \displaystyle\frac{\lambda _1 \beta _1}{\sqrt{D_1}} = \frac{\lambda _2 \beta _2}{\sqrt{D_2}} \).

Conditions initiales :
A t = 0, les températures sont uniformes dans la table et dans la main :   \(T_2(x, 0) = T_{02}\)   (même température dans la table en tout point à t = 0) et   \(T_1(x, 0) = T_{01}\).
Or à t = 0,   \(u_2(x,0) \rightarrow \infty\)   d’où   \(T_2(x, 0) = \alpha_2 + \beta_2 I\).
Attention, à t = 0,   \(T_1(x, 0) = \alpha_1 - \beta_1 I\)   car   \(u_1(x,0) \rightarrow - \infty\) puisque x < 0 dans la zone de définition de \(T_1\).
On en déduit : \( \beta _1 = \displaystyle\frac{T_i - T_{01}}{I} \) et \( \beta _2 = \displaystyle\frac{T_{02} - T_i}{I} \).

En injectant les expressions de \(\beta_1\) et \(\beta_2\) dans la relation issue de la continuité de \(j_Q\) :  \( T_i = \displaystyle\frac{E_1 T_{01} + E_2 T_{02}}{E_1 + E_2} \)   où l'effusivité est   \(E = \displaystyle\frac{\lambda}{\sqrt D} = \sqrt{\lambda \mu c} \).

\(T_i\) (bois) = 36,8 °C ≈ 37 °C : aucune sensation de froid.
\(T_i\) (acier) = 18,8 °C ≪ \(T_\textrm{main}\) : sensation de froid très nette (proche du modèle précédent).
Dans ce modèle, c’est ma quantité \(E = \displaystyle\frac{\lambda}{\sqrt D} = \sqrt{\lambda \mu c}\) qui détermine la température d’équilibre de l’interface et plus seulement la conductivité λ.

Ce modèle reste valable dans le cas où les épaisseurs de la table et de la main sont finies si δ (profondeur de pénétration) ≪ e à un instant donné (cohérent avec l’hypothèse du contact bref).