On étudie la propagation d’une particule, associée à la fonction d’onde \(\Psi\), au niveau d’une barrière de potentiel qui est
définie par \(V (x < 0) = 0\) ; \(V (x > L) = 0\) et \(V (0 < x < L) = V_0 > E\) avec E l’énergie de la particule associée
à la fonction d’onde.
Donner l’équation de Schrödinger indépendante du temps vérifiée par la fonction \(\varphi(x)\).
Quelle est la relation entre \(\varphi(x)\) et \(\Psi(x, t)\) ?
Quelle est la solution \(\varphi_1\) dans le cas \(x < 0\) ? Montrer que \(\Psi_1\) est la superposition
de deux ondes planes progressives d’amplitude A et B. Quelle est l’expression de \(k_1\) ?
Déterminer la solution \(\varphi_2\) dans le cas \(0 < x < L\). On utilisera les constantes C et D,
et \(k_2\) dont l’expression sera à donner, qui a la dimension d’un vecteur d’onde.
Déterminer la solution \(\varphi_3\) dans le cas \(x > L\).
Donner les conditions aux limites. Discuter de leur nombre.
On donne le coefficient de transmission : \(T=\dfrac{1}{1+\dfrac{V_0^2}{4E(V_0-E)}sh(k_2)L}\)
Que devient son expression dans le cas où \(k_2 L >> 1\). Commenter.
Trouver la variation de longueur sur L pour que T augmente de 10 %. On prendra un électron de masse
\(m = 9,1\cdot 10^{-31} \si{kg}\), \(V_0 = 2 \si{eV}\) et \(E = 1 \si{eV}\).
Prérequis :
Equation de Schrödinger indépendante du temps.
Savoir-faire :
Résolution des équations différentielles de la forme \(\dfrac{d^2\varphi}{dx^2} + k^2\varphi(x) = 0\) et \(\dfrac{d^2\varphi}{dx^2} - \alpha^2\varphi(x) = 0\).
Relations de continuité pour \(\varphi(x)\) et \(\dfrac{d\varphi}{dx}\).
Equation de Schrödinger
\(\schrodingerx\)
\(\Psi(x,t)=\varphi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}\) pour un état stationnaire.
\(\varphi_3(x)=Fe^{ik_1x}\) car pas d'onde retour (pas de réflexion ou de source en \(+\infty\))
Conditions aux limites
5 coefficients complexes inconnus A, B, C, D, F (donc 10 inconnues réelles)
4 conditions aux limites (4 équations complexes) + 1 condition de normalisation = 9 équations (la phase de l'onde incidente reste arbitraire).
Coefficient de transmission
\(T \simeq \dfrac{8E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-k_2L} \propto e^{-k_2L}\) donc diminue exponentiellement avec une distance caractéristique d'évolution \(\delta = \dfrac{1}{k_2}\).
Application
\(\dfrac{T(L')-T(L)}{T(L)} = 0,1 = x\) : on cherche \(\Delta L = | L'-L |\)
\(\Delta L = \dfrac{ln(1+x)}{\sqrt{\dfrac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)}}\) = 0,018 nm : le coefficient de transmission varie extrêmement vite avec la largeur de la barrière (variation relative de 10% pour une
largeur de barrière variant d'une longueur inférieure à l'épaisseur d'un atome).