Prérequis :

• Expression de la force d'inertie d'entraînement dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentiel galiléen.
• Théorème du moment cinétique en un point (ou par rapport à un axe) fixe dans le référentiel d'étude.

Savoir-faire :

• Résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants dans le cas d'une excitation sinusoïdale (régime forcé).

1. Choix du référentiel
Solution

Le référentiel R' lié au point A est en translation rectiligne variée (non uniforme) par rapport à R, il n'est donc pas galiléen.




2. Forces
Solution

Les forces appliquées au système M sont la tension du fil \(\vec T\), le poids \(\vec P\) et la force d'inertie d'entraînement \(\vec f _{ie}(M)\) (R' étant en translation par rapport à R, la force de Coriolis est nulle).
Comme R' est en translation par rapport à R, tous les points ont même vitesse d'entraînement donc l'accélération d'entraînement est l'accélération du point A dont la position est donnée par l'énoncé.
\( \vec T \left| \begin{align*} -T \\ 0 \\ 0 \\ \end{align*} \right. \)      \( \vec P \left| \begin{align*} mg \cos \theta \\ -mg \sin \theta \\ 0 \\ \end{align*} \right. \)     \( \vec f _{ie} = -m \vec a _{ie} = m p^2 a \sin(pt) \vec u _x = \left| \begin{align*} m p^2 a \sin(pt) \sin \theta \\ m p^2 a \sin(pt) \cos \theta \\ 0 \\ \end{align*} \right. \)




3. TMC
Solution

Equation différentielle : \( \ddot \theta + \displaystyle\frac{g}{\ell} \sin \theta = p^2 \frac{a}{\ell} \sin(pt) \cos \theta \).




4. Intégration
Solution

Dans l'approximation des petits angles, en posant \(\omega_0^2 = \displaystyle\frac{g}{\ell} \), l'équation différentielle s'écrit : \( \ddot \theta + \omega_0^2 \theta = p^2 \displaystyle\frac{a}{\ell} \sin(pt) \).
La solution est de la forme : \( \theta (t) = \theta_{EDH}(t) + \theta_{part}(t) \).
L'équation différentielle homogène (i.e. sans second membre) est celle d'un oscillateur harmonique non amorti dont les solutions sont de la forme \( \theta_{EDH} (t)=A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t) \) où A et B sont des constantes.
Le second membre est sinusoïdal (donc non constant !), il s'agit d'un régime sinusoïdal forcé. La solution particulière est alors sinusoïdale et on la détermine en utilisant le formalisme complexe (comme en électricité) : on recherche une solution de la forme \( \theta_{part}(t) = \underline C e^{j(pt+\phi)} \).
En injectant cette solution dans l'équation différentielle, on obtient : \( \theta _{part} (t) = \displaystyle p^2 \frac{a}{\ell} \frac{1}{\omega_0^2-p^2} \sin(pt) \).
Finalement \( \theta (t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t) + \displaystyle p^2 \frac{a}{\ell} \frac{1}{\omega_0^2-p^2} \sin(pt) \).
Il reste à déterminer les constantes A et B à l'aide des conditions initiales.