Prérequis :

• Energie potentielle d'un dipôle placé dans un champ : positions d'équilibre stable et instable.
• Energie cinétique d'un solide.

Savoir-faire :

• Ecrire la conservation de l'énergie.
• Raisonner sur une équation afin de déterminer les extrema d'une variable sans résoudre l'équation.

1. Energie potentielle d’interaction
Solution

On note θ l'angle entre la boussole (donc \(\vec m\)) et le champ \(\vec B\).
\(E_p=-\vec m \cdot \vec B = -mB\cos\theta\) avec \(\left\| \vec m \right\| = m\).




2. Mouvement
Solution

En l'absence de forces dissipatives, le système est conservatif : \(E = E_c+E_p = E(t=0) = 0\).
L'énergie mécanique s'écrit \(\frac{1}{2}J_\Delta\dot\theta^2-mB\cos\theta=0\).
La vitesse angulaire \(\omega = \dot\theta\) est donc maximum pour \(\theta = 0\) (passage par la position d'équilibre stable), on déduit alors \(\dot\theta_{max}\) de l'équation précédente.
En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe Δ fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen ou en dérivant l'équation précédente par rapport au temps, on établit l'équation différentielle du mouvement : \(J_\Delta\ddot\theta+mB\sin\theta=0\) (1).
Equation non linéaire qui devient l'équation d'un oscillateur harmonique dans l'approximation des petits angles, on observe donc des oscillations de part et d'autre de la position d'équilibre stable.




3. 1. \(B_0\) seul
   Solution

   De (1), on déduit \(\omega_0 = \displaystyle\sqrt\frac{mB_0}{J_\Delta}\). D'où \(T_0=2\pi\displaystyle\sqrt\frac{J_\Delta}{mB_0}\).
   Pour déduire la valeur de \(B_0\) de la mesure de \(T_0\), il faut connaître m et \(J_\Delta\) or ces deux valeurs ne sont pas mesurables facilement avec précision.

   
   
   
   2. \(B_0\) et \(B_1\)
   Solution

   On suppose \(B_1 \lt B_0\).
   \(\vec B_0\) et \(\vec B_1\) de même sens : \(T_+=2\pi\displaystyle\sqrt\frac{J_\Delta}{m(B_0+B_1)}\)
   \(\vec B_0\) et \(\vec B_1\) de sens opposé : \(T_-=2\pi\displaystyle\sqrt\frac{J_\Delta}{m(B_0-B_1)}\)
   Le rapport \(\displaystyle\frac{T_+}{T_-}\) est indépendant de m et \(J_\Delta\).
   On en déduit : \(B_0=B_1\displaystyle\frac{T_-^2+T_+^2}{T_-^2-T_+^2}\).