Capacité d'un câble coaxial

On modélise un câble coaxial par deux cylindres conducteurs parfaits, de même axe de révolution \(\ez\).
Le premier de rayon \(R_1\) est appelé âme, est porté au potentiel \(V_1 > 0\), et on note \(\sigma_1\) la densité surfacique de charges sur le cylindre 1 supposée uniforme.
Le second cylindre a pour rayon \(R_2 > R_1\), portée au potentiel \(V_2 < V_1\). L’espace entre les cylindres est assimilé à du vide.
On néglige les effets de bord, c’est-à-dire qu’on considère que le champ entre les armatures sur une portion de câble de longueur h est le même que si la longueur h était infinie.

On admet que dans les conducteurs formant l’âme et la gaine, la densité volumique de charge est nulle, les seules charges sont surfaciques. Les surfaces des deux conducteurs en regard sont porteuses de charges égales en norme et de signe opposé.
On posera \(e = R_2 - R_1\), l’espace radial entre les armatures.

1. Dans quelle mesure les effets de bord sont-ils raisonnablement négligeables ? Donner dans le cadre de ce modèle une relation entre \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \(R_1\) et \(R_2\).


2. En raisonnant sur le câble infini, étudier les symétries et invariances de la distribution de charge. Quelles en sont les conséquences sur le champ électrostatique \(\vec E\) et sur le potentiel V(M) en un point M dans l’espace entre les armatures ?


3. Déterminer le champ électrostatique qui règne en un point M entre les deux cylindres.


4. En déduire la différence de potentiel U entre l’âme et la gaine.


5. En généralisant la capacité d’un condensateur, exprimer la capacité linéique du câble notée \(C_\ell\) en fonction de \(\epsilon_0\), \(R_1\) et \(R_2\).