The Manhattan Project – Trinity test

La légende voudrait qu’en 1950, Geoffrey Ingram Taylor ait réussi à estimer l'énergie dégagée par l'explosion d'une bombe atomique, alors que cette information était classée top secret.
Il lui a suffi pour cela d'observer l'explosion de la bombe sur un film, imprudemment rendu public par les militaires américains.

Trinity test

Estimer littéralement et numériquement l'énergie dégagée par l'explosion à l'aide de la photographie ci-dessus, extraite du film en question, et de la masse volumique de l'air.

Prérequis

Théorème fondamental de l'analyse dimensionnelle (théorème de Vaschy-Buckingham).

Savoir-faire

Etablir une relation par analyse dimensionnelle.

Observer

La photographie fournit un temps t (vraissemblablement le temps écoulé depuis l'explosion) et une échelle de longueur qui permet d'avaluer le rayon R du « champignon ».
De plus, l'énoncé précise que la masse volumique $ρ$ de l'air est un paramètre pertinent.
On cherche l'énergie E dégagée par l'explosion.

Savoir-faire

Déterminer les dimensions de $ρ$ , t et R.
Vérifier que les dimensions de la masse volumique $ρ$ ne peuvent pas s'exprimer en fonction des dimensions de t et R (autrement dit, que ces 3 paramètres sont dim-indépendants).
Le théorème fondamental de l'analyse dimensionnelle permet alors de postuler que l'énergie est reliée à ces paramètres par une relation de la forme $E = k ρ^{α} t^{β} R^{γ}$ où k est un coefficient numérique sans dimension (qu'il n'est pas possible de déterminer ici).
Déterminer les dimensions de E.
Ecrire l'équation aux dimensions de la relation précédente et en déduire les puissances $α$ , $β$ et $γ$ .
Proposer un ordre de grandeur numérique.

On trouve $E = k ρ t^{- 2} R^{5}$ .
La valeur numérique manquante est celle de $ρ$ . En l'absence de données de température et de pression, on doit se résigner à prendre les valeurs correspondant aux conditions usuelles. Si l'ordre de grandeur de la masse volumique de l'air n'est pas connue, on la déduit de l'équation d'état des gaz parfaits.
$ρ (P, T) = \frac{P M}{R T}$ où M est la masse molaire de l'air assimilé à un mélange de 80% de diazote et de 20% de dioxygène (savoir retrouver cette relation et la valeur de $ρ$ très rapidement car cette expression est utile dans de nombreuses situations).
On obtient E ≃ 3000 TJ (téra Joule).
Une recherche dans Wikipedia donne 19 kT de TNT soit 80 TJ pour cette explosion.
Compte tenu des approximations effectuées, cet écart n'est pas surprenant.